4.1.    Классическая постановка задачи оптимизации

Back

Значительная часть задач, с методами решения которых мы будем знакомиться при изучении курса, связана с построением и использованием математических моделей оптимизации. Как научное направление, теория оптимизации возникла лишь в эпоху ЭВМ, так как реализация алгоритмов отыскания экстремумов чрезвычайно трудоемка, но основные методы и подходы, использующиеся в теории оптимизации, были разработаны крупнейшими математиками прошлого - Ньютоном, Эйлером, Лагранжем.

Обычная постановка задачи оптимизации (которую мы будем называть классической) состоит в следующем. В некотором -мерном пространстве  тем или иным способом выделяется некоторое непустое множество точек этого пространства , называемое допустимым множеством. Далее фиксируется некоторая вещественная функция , заданная во всех точках допустимого множества. Задача оптимизации состоит в том, чтобы найти точку  во множестве , для которой функция  (целевая функция) принимает экстремальное - минимальное или максимальное значение [5, С.216]. Под точкой пространства  понимается -мерный вектор и, соответственно,  является функцией -мерного векторного аргумента. Особо следует отметить, что при представлении о системе в форме (1.3) (1.4) понятие допустимого множества совпадает с понятием области допустимых траекторий или области существования системы.

Задачу оптимизации мы будем записывать следующим образом

       или .      (4.1)

При перемене знака целевой функции все точки ее максимума превращаются, очевидно, в точки минимума и наоборот. Поэтому в теории достаточно рассматривать лишь какой-нибудь один из видов оптимума (максимум или минимум). В современной теории оптимизации чаще всего останавливаются на нахождении минимума. Все результаты этой задачи очевидным образом переходят на задачу максимизации.

Заметим, что термин «оптимизация функции» не вполне точно отражает существо процесса оптимизации в форме (4.1). В таком процессе сама функция остается неизменной. Речь идет об оптимизации ее значения (путем выбора соответствующей точки в допустимом -мерном допустимом множестве значений ее аргумента ). Помимо такой задачи (задачи оптимизации функций) возможна постановка оптимизационной задачи, при которой в качестве допустимого множества выступает некоторое множество  вещественных функций , а целевая функция есть некоторый функционал , сопоставляющей каждой функции  некоторое вещественное число . Такую задачу мы будем называть задачей оптимизации функционалов или вариационной задачей [5, С.218].

Навигация